【2023年】微分・積分の本「人気・高評価のおすすめの25冊」

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「時間や距離を細かくして考えることが微分」「細かくしてから足しあわせるのが積分」――苦手意識を持つ人が多い微分と積分だが、現在では物理学、化学、生物学、経済学など様々な分野で応用され使用されている。微分積分がなければ、新幹線は作れないし、飛行機の安全性も確保できない。先入観を捨てて基礎さえ理解すれば、微分積分はぐんと面白くなる！楽しく学べる入門書の決定版。
「どんな楽しい曲でも楽譜は音符だらけなのと一緒。メロディのイメージなしに曲は作れないように、数字や式だけ追っていても数学はわかりません。具体的なイメージを持つことが大切」という監修者の言葉にあるように、順を追って説明し、とにかくわかりやすい本を目指しました。

姉妹書『数研講座シリーズ大学教養微分積分』に掲載された練習,章末問題228問に加え,本書『チャート式シリーズ大学教養微分積分』にのみ掲載された53問,計281問を高校数学の参考書“青チャート"と同様の例題形式で詳解した微分積分の参考書です。チャート式シリーズの特徴である「その問題を解決するための考え方を示す指針」と,関連する参考事項や注意事項などについても適宜,解説を加え,より理解が深まるようにしています。


目次
第1章実数と数列
1実数の連続性
2数列の収束と発散
3単調数列とコーシー列
4発展:上極限と下極限
5発展:小数展開
第2章関数(1変数)
1関数の極限
2極限の意味
3関数の連続性
4初等関数
第3章微分(1変数)
1微分可能性と微分
2微分法の応用
3ロピタルの定理
4テイラーの定理
第4章積分(1変数)
1積分の概念
2積分の計算
3広義積分
4積分法の応用
5発展:リーマン積分
第5章関数(多変数)
1ユークリッド空間
2多変数の関数
第6章微分(多変数)
1多変数関数の微分
2微分法の応用
3陰関数
4発展:写像の微分
5発展:微分作用素
第7章積分(多変数)
1重積分
2重積分の応用
3広義の重積分とその応用
4発展:重積分の存在
第8章級数
1級数
2整級数
3整級数の応用
第9章微分方程式
1微分方程式の基礎
2線形微分方程式
答の部
索引

「大学教養の基礎」シリーズは,大学数学の基礎を重視。例・例題の計算を行いながら,大学微分積分学の本質を学んでいきます。
本書の姉妹編である既刊の,数研講座シリーズ大学教養微分積分では,大学1年生が学習する微分積分学について,ほぼすべての内容を扱いました。一方,本書は,徹底して大学微分積分学の基礎の内容に絞るという区別をつけました。また,一般の数学書の紙面は,定義→定理→証明の繰り返しで構成されますが,本書を含めた数研講座シリーズはこれを可能の限り改善しました。事柄のはじめには導入が設けられており,例,例題の計算を追いながら読み進めることで,内容の定着が把握しやすい構成にしました。体裁面では,解答や証明がページの途中で分断されないよう,できる限り配慮しました。
来春発行予定の『チャート式シリーズ 大学教養 微分積分の基礎』には,本書に掲載された練習・補充・章末問題の詳しい解答をもれなく収録します。2冊合わせて使用することで,学習の相乗効果が得られるようになっています。


目次
第0章 高校数学+大学数学の準備
第1節 数と式,集合と証明
A 数について
B 実数の整数部分を表す記号,最大値・最小値
C 大小関係
D 三角不等式
E 命題と条件
F 集合
G 集合に関する記号のまとめ
H 命題と証明
I 論理記号
J 命題p⇒qの否定
第2節 数学の議論に必要な取り決め
第3節 三角関数に関する公式
第4節 二項定理の展開式
A 二項定理
B (a+b+c)^nの展開式
第5節 写像の基礎
A 集合と写像・逆写像
第6節 一般的な数列の知識
A 等差数列,等比数列の一般項および和記号
B 漸化式
第7節 一般的な関数の知識
A 分数関数,無理関数
B 狭義単調関数,広義単調関数
付 ギリシャ文字一覧
第1章 関数(1 変数)
第1節 関数とは
A 関数と対応関係
B 逆関数と合成関数
第2節 関数の極限とは
A 関数の極限の定義
B 関数の極限の性質
C 関数の発散
D 片側極限
E x→∞およびx→-∞のときの極限
第3節 関数の連続性
A 連続性とは
B 関数の演算と連続性
C 連続関数の性質
研究 関数の連続性と数列の極限
第4節 初等関数
A 代数的に定まる関数
B 指数関数・対数関数
C 三角関数・逆三角関数
D 双曲線関数
研究 単調増加関数・単調減少関数
第2章 微分(1 変数)
第1節 微分とは
A 微分可能性と導関数
B 微分可能性と連続性
C 導関数の性質
第2節 いろいろな関数の微分
A 合成関数の微分
B 逆関数の微分
C 高次導関数
第3節 微分法の応用
A 極大値と極小値
B 平均値の定理・ロルの定理
C ロピタルの定理
研究 ロピタルの定理の結果が成り立たない例
D テイラーの定理
研究 級数
研究 ランダウの記号と漸近展開
第3章 積分(1 変数)
第1節 積分とは
A 積分可能性と定積分
研究 数値積分(台形公式)
B 定積分の性質
C 微分積分学の基本定理
第2節 積分の計算
A 原始関数と不定積分
B 置換積分
C 部分積分
D いろいろな関数の積分
第3節 広義積分
A 広義積分とは
B 広義積分の収束判定条件
第4節 積分法の応用 A 曲線の長さ
B ベータ関数・ガンマ関数
第4章 関数(多変数)
第1節 ユークリッド空間
A ユークリッド空間
研究 直積集合
B ユークリッド距離
研究 極座標表示
第2節 多変数関数とは
A 多変数関数の定義
B 多変数関数のグラフ
第3節 多変数関数の極限と連続性
A 多変数関数の極限
研究 ε近傍
B 多変数関数の連続性
C 多変数関数の中間値の定理と最大値・最小値原理
研究 開集合と閉集合の定理の証明
第5章 微分(多変数)
第1節 多変数関数の微分(偏微分)
A 偏微分
B 偏導関数
C 偏微分可能性と連続性
研究 方向微分係数
第2節 多変数関数の微分(全微分)
A 全微分
B 全微分可能性と偏微分係数
C 接平面
研究 平面の方程式
D 全微分可能性と連続性
E 偏導関数の連続性と全微分可能性
F 合成関数の微分
研究 ヤコビ行列
研究 2変数関数と1変数関数との合成関数の微分の定理の証明
第3節 多変数関数の高次の偏微分
A 高次の偏微分
B 多変数関数のテイラーの定理
第4節 多変数関数の微分法の応用
A 極値問題
B 条件付き極値問題
C 陰関数定理
研究 ラグランジュの未定乗数法の定理の証明
第6章 積分(多変数)
第1節 重積分
A 平面上の長方形領域での積分
B 平面上の一般の領域での積分
第2節 重積分の計算
A 累次積分
B 重積分の変数変換(置換積分)
第3節 重積分の応用
A 図形の面積と体積
B 曲面積
研究 空間極座標
第4節 広義の重積分とその応用
A 広義の重積分
B ガウス積分
第7章 定理の証明
答の部
索引

姉妹書『数研講座シリーズ大学教養微分積分の基礎』に掲載された練習,補充,章末問題をあわせた204問に加え,本書だけのオリジナル問題を85問,計289問を収録した微分積分学の参考書です。

目次
第1章 関数(1変数)
1関数とは
2関数の極限
3関数の連続性
4初等関数
EXERCISES
第2章 微分(1変数)
1微分とは
2いろいろな関数の微分
3微分法の応用
EXERCISES
第3章 積分(1変数)
1積分とは
2積分の計算
3広義積分
4積分法の応用
EXERCISES
第4章 関数(多変数)
1ユークリッド空間
2多変数関数とは
3多変数関数の極限と連続性
EXERCISES
第5章 微分(多変数)
1多変数関数の微分(偏微分)
2多変数関数の微分(全微分)
3多変数関数の高次の偏微分
4多変数関数の微分法の応用
EXERCISES
第6章 積分(多変数)
1重積分
2重積分の計算
3重積分の応用
4広義の重積分とその応用
EXERCISES
PRACTICEの解答
EXERCISESの解答
大学教養微分積分の基礎の問題と本書の解答の対応表
索引

微分積分とは,未来を予測するための数学です。位置や速度,株価など,さまざまな値がどのように変化していくのか,その未来を計算するときに微分積分は欠かすことができません。小惑星探査から,医療診断,経済動向の予測,携帯電話の技術など,さまざまなところで微分積分が使われています。現代社会は微分積分によって支えられているといっても過言ではないでしょう。
本書は,微分積分を,先生と生徒の対話形式で“めっちゃやさしく"解説した1冊です。微分積分の誕生の歴史から,基本的な考え方,そして感染症の予測といった応用例までを分かりやすく紹介しています。ぜひご一読ください。


目次

1時間目:微分積分は,何の役に立つのか
STEP1. 微分積分って,何のこと?
微分積分は未来予測の道具
微分積分の考え方は,日常生活にもひそんでいる
微分積分を思いついたのは23歳の天才科学者


2時間目:微分積分を生んだ時代背景を知る
STEP1. 大砲の砲弾の軌道が数式になった!
砲弾の軌道は放物線をえがく
座標が数式と図形を結びつけた
砲弾の軌道が数式に変わった!
関数って何?
変数と定数
偉人伝1 近代科学の父,ガリレオ・ガリレイ
STEP2. 変化していく進行方向を知るには?
時々刻々と進行方向は変わる
接線を引けば,進行方向がわかる
微分法の発見につながった超難問「接線問題」
偉人伝2 夢でひらめいた,ルネ・デカルト
偉人伝3 微積の先駆者,ピエール・ド・フェルマー


3時間目:ニュートンがつくった微分法
STEP1. 傾きがわかれば,接線が引ける
傾き具合が接線のカギ
直線の傾きを「比」であらわす
接線問題に取り組んだニュートンの画期的な考え方
STEP2. 放物線の接線を求めてみよう!
ニュートンの方法でy=x^2を微分する
q/pの値を計算で求める
放物線上のどこでも,接線の傾きがわかる
微分すると新たな関数が生まれる!
STEP3. 微分のルールを習得しよう!
y=xの導関数を求めてみる
y=x^3の導関数を求めてみよう
微分の計算は,各項で別々に行える
微分で使う記号をチェック!
STEP4. 微分すると変化のようすがわかる
ジェットコースターの曲がり方を調べよう
砲弾の軌道を微分してみよう
偉人伝4 アイザック・ニュートン part1
STEP5. 高校数学で習う微分
高校の数学で習う接線の求め方
現代の微分のかなめ「極限」の計算
偉人伝5 アイザック・ニュートン part2


4時間目:微分と積分の統一
STEP1. 積分の歴史を知る
積分の起源は, 2000年前の古代ギリシア!
細かく分けてワインの量を計算!
洗練されていく積分の技法
STEP2. 積分のルールを習得しよう!
直線の下側の面積を計算してみよう!
曲線の下側の面積はどうやって計算する?
積分をすると見えてくる「法則」とは?
ニュートンの大発見で,微分と積分が一つになった!
積分の記号をチェック!
積分するとあらわれる積分定数「C」
ある決まった範囲の面積を求める方法
STEP3. 積分を使った計算に挑戦!
積分を使えば,円の面積や体積が計算できる!
シャンパングラスの体積を求めてみよう!
創始者をめぐる争い
偉人伝6 ゴットフリート・ライプニッツ


5時間目:微分積分で“未来"がわかる
STEP1. 微分積分で,速度と距離がわかる
接線の傾きが「速度」をあらわすこともある
ロケットの高度を予測してみよう!
計算通りにやってきたハレー彗星
STEP2. 微分方程式で未来を予測!
未来を予測する武器「微分方程式」
STEP3. 現代社会で活躍する微分方程式
コーヒーの温度も微分方程式!
化石の年代測定も微分方程式
シマウマとライオンの数を微分方程式で予測
感染症の未来を予測!
あらゆる自然現象が微分方程式になる

大学1年生が“微分積分"の半期,もしくは通年の講義で使用する教科書です。
高校数学の教材でトップシェアを誇る数研出版が,これまでに得た知見をもとに「高校数学から見上げた先にある大学数学」という視点で大学初年級の教材をとらえなおし,高校と大学の数学を円滑に接続する新たな“大学の教科書"を高校数学の著者とともに提案します。

新しい教科書を実現すべく,いくつかの具体的な工夫がなされています。
■事項の解説,計算の式変形,証明は,端折らず記述しています。これにより,自力で一通り読み進め理解につなげる自己完結性を高めています。
■原則として掲載したすべての定理に証明をつけています。基礎を丁寧に説明し,詳細・正確さから逃避しない,という基本方針を貫いています。
■計算の仕方の解説が丁寧であることは言うまでもありませんが,定理も学ぶことを重視しています。定理によって数学を学ぶという姿勢は昨今の教科書にはみられない配慮で,これは数学を必要とするエンジニアの要求にも応えられるものです。

証明と具体的な計算に関わる一例:ロピタルの定理,部分分数分解,全微分


目次
第0章 高校数学+大学数学の準備
1 数と式,集合と証明
2 数学の議論に必要な取り決め
3 三角関数に関する公式
4 写像の基礎
5 大学数学で扱う記号,用語や表現
第1章 実数と数列
1 実数の連続性
2 数列の収束と発散
3 単調数列とコーシー列
4 発展:上極限と下極限
5 発展:小数展開
第2章 関数(1変数)
1 関数の極限
2 極限の意味
3 関数の連続性
4 初等関数
5 補遺:定理の証明
第3章 微分(1変数)
1 微分可能性と微分
2 微分法の応用
3 ロピタルの定理
4 テイラーの定理
第4章 積分(1変数)
1 積分の概念
2 積分の計算
3 広義積分
4 積分法の応用
5 発展:リーマン積分
第5章 関数(多変数)
1 ユークリッド空間
2 多変数の関数
3 補遺:定理の証明
第6章 微分(多変数)
1 多変数関数の微分
2 微分法の応用
3 陰関数
4 発展:写像の微分
5 発展:微分作用素
6 補遺:定理の証明
第7章 積分(多変数)
1 重積分
2 重積分の応用
3 広義の重積分とその応用
4 発展:重積分の存在
5 補遺:定理の証明
第8章 級数
1 級数
2 整級数
3 整級数の応用
第9章 微分方程式
1 微分方程式の基礎
2 線形微分方程式
答の部
索引

確率関数あるいは確率密度関数の集まりからなる統計的モデルのもつ自然な微分幾何学的構造を扱う。統計学に関して深入りをせずに、入門的な内容を解説している。数学的予備知識としては、微分積分、線形代数を前提としており、さらに測度論や多様体論、接続の微分幾何学といったものが必要となるが、それぞれの項目については丁寧に説明している。また,それらの基礎となる知識は,はじめにすべて述べてしまうのではなく、必要になったときに,その都度述べているため、使い方がわかりやすく,理解を諦めてしまうことのないように心がけている。

全体は7つの章からなる。第1章から第3章までは確率関数からなる統計的モデルに関する基礎的事項を扱う。特に、第2章ではフィッシャー計量について述べ、チェンツォフの定理を示す。また、第3章ではα-接続や接続の平坦性と関連して、e-接続やm-接続について述べる。第4章では確率密度関数からなる統計的モデルを扱う。第5章では統計的モデルの一般化である統計多様体を扱う。第6章では接続の微分幾何学に関連して、自己平行部分多様体について述べ、平坦アファイン接続に関する準備をした後、これらを指数型分布族あるいは混合型分布族とよばれる典型的な統計的モデルに対して応用する。第7章では双対平坦空間を定義し、ダイバージェンスについて述べた後、統計学の基本定理であるクラメル-ラオの不等式を示す。
本書を通して,機械学習や量子情報理論につながる,情報幾何の世界の扉を開いてほしい。

「微分積分」とは,簡単にいえば「変化」を計算するための数学です。目的地まであと何分で到着するかといった身近なことから,「はやぶさ2」の速度や軌道,経済状況の変化など,幅広い分野の計算に役立てられています。もはや現代社会に不可欠な計算法なのです。
数学が得意でない人は,微分積分に苦手意識をもっているかもしれません。しかし基礎から一つ一つていねいにみていくと,それほどむずかしい計算ではないことがわかるはずです。
本書は,微分積分の基本的な考え方や解き方はもとより,誕生にまつわる時代背景,微分積分の生みの親であるアイザック・ニュートンの思考などを,やさしく紹介していきます。ぜひご一読ください。


目次

1.微分積分って,いったい何?
日常生活にひそむ,微分と積分の考え方
微分で「速度」, 積分で「距離」が求まる
微分とは, 関数のグラフを超拡大してみること
ゴルフのスイングの写真で微分をイメージしよう
コーヒーブレーク:「関数」って,いったい何だろう?
「積分」とは,曲がった図形の体積や面積を求めること
微分と積分は,たがいに逆の関係!
微分積分は,変化を把握して未来を予測するための道具
コーヒーブレーク 微分積分を生んだニュートン

2.微分が生まれた背景
はじまりは,大砲を命中させるための研究
物体の運動を水平方向と上下方向に分ける
「座標」が数式と図形を結びつけた
座標を使えば,砲弾の軌道が「数式」に変わる
砲弾の進行方向は刻々と変わる
微分積分のかぎをにぎる「接線」とは
接線を知れば,進行方向が正確にわかる
コーヒーブレーク 条件によって変化する「変数」,変わらない「定数」

3.ニュートンの大発明「微分法」
接線を正確に引くには,どうしたらよいか
現在の高校で学ぶ接線の引き方
曲線は「小さな点が動く」ことでできている!
一瞬の間に点が動いた方向を計算する
ニュートンの方法で,接線の傾きを計算しよう(1)
ニュートンの方法で,接線の傾きを計算しよう(2)
コーヒーブレーク 創始者はどっち? ライプニッツとの泥沼の争い
「瞬間の速度」を求めるのはむずかしい
瞬間の速度を求めようとすると「0÷0」に行きつく?
瞬間の速度は,こうすれば求められる
接線の傾きが瞬間の速度をあらわす
「極限」が微分積分のかなめ
微分は公式を使って簡単に計算できる
導関数がわかると「瞬間の変化の度合い」がわかる
ジェットコースターで実感する微分の威力

4.微分と対をなす「積分法」
曲がりくねった土地の面積を求めるには
アルキメデスが積分の“もと"を考案
積分の発想を天文学に応用したケプラー
太さが一定でない物体の体積を求めるには
「線」を無数に積み上げれば「面」になる
面積をあらわす関数をみつけよう
積分にも便利な公式がある
微分と積分を一つにする大発見!
円周の長さを積分すると円の面積に
積分でよくわかる,球の体積の公式
微分・積分の記号の意味は
コーヒーブレーク ヒーターの温度調整に微分積分を活用

5.微分積分でさまざまな問題を解決する
箱の容積を最大にするには?
《微分で解決! 》箱の容積を最大にするには?
シャンパンの体積は?
《積分で解決! 》シャンパンの体積は?
宇宙船の高度は,どう変化する?
《積分で解決! 》宇宙船の高度は,どう変化する?
微分積分は,自然界のしくみを知るのに不可欠
微分方程式に挑戦してみよう! (1)
微分方程式に挑戦してみよう! (2)
コーヒーブレーク ハレー彗星が証明した,微分積分の威力

6.早わかり公式集
重要公式1 axnの微分
重要公式2 定数の微分
重要公式3 三角関数の微分
重要公式4 exの微分
重要公式5 axnの積分
重要公式6 三角関数の積分
重要公式7 exの積分
重要公式8 f (x)のa からbまでの定積分

この本では、微積分の基本的定理の理解のために、証明を丁寧に書いている。定義、定理を説明するため、具体例や図も多く付けた。ε‐δを使う議論は、最初のうちは特に丁寧に説明している。

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最近は定理を直観的な説明だけですますことが少なくない。本書は、微積分をすでに一通り学んだ読者を含めて、基本的定理をきちんと理解する必要がでてきた人や、数学的には完璧な本で学んでいるが理解に苦しんでいる人を対象に「微積分を厳密にしかも読みやすく」解説した。
姉妹書に『続 微分積分読本 -多変数-』がある。

●目次
1．実数と収束
2．関数
3．微分
4．積分

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「微分って、こんなにやさしかったの？」

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中高生レベルのやさしい数学を楽しい会話で学ぶ「数学ガールの秘密ノート」シリーズ第五弾。本書のテーマは、数学に悩む多くの人がつまずきがちな「微分」です。「変化をとらえる」という微分の考え方を、たくさんの実例を通してやさしく解説しています。

「僕」と三人の数学ガール（ユーリ、テトラちゃん、ミルカさん）のトークを通して、「中高生レベルの数学を楽しく学ぶ『数学ガールの秘密ノート』シリーズの第五作。本書のテーマは、多くの人が苦手意識をもつ微分。
中学生チーム（ユーリ）は、点の位置と速度のグラフを通じて、微分というものを直観的に考えます。位置と速度の関係、速度と加速度の関係を見比べながら、世の中の「変化する現象」を数学的にとらえる方法を身につけていきます。
高校生チーム（ミルカさんとテトラちゃん）は、ややこしい不等式を数直線で理解する方法、パスカルの三角形と微分との不思議な関係、それに数列の極限から指数関数の底に至るまでの議論を学びます。

●登場人物紹介

「僕」
　高校二年生、語り手。
　数学、特に数式が好き。

ユーリ
　中学二年生、「僕」の従妹。
　栗色のポニーテール。論理的な思考が好き。

テトラちゃん
　高校一年生、いつも張り切っている《元気少女》。
　ショートカットで、大きな目がチャームポイント。

ミルカさん
　高校二年生、数学が得意な《饒舌才媛》。
　長い黒髪にメタルフレームの眼鏡。

母
　「僕」の母親。

瑞谷女史
　「僕」の高校に勤務する司書の先生。

●目次
第1章 位置の変化
第2章 速度の変化
第3章 パスカルの三角形
第4章 位置と速度と加速度と
第5章 割り算と掛け算のバトル

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Gauss-Bonnetの定理のように、美しく深みのある幾何を理解してもらうために、微積分の初歩と2次3次の行列を知っていれば容易に読み進めるように解説。

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Gauss-Bonnetの定理のように、美しく深みのある幾何を理解してもらうために、微積分の初歩と2次3次の行列を知っていれば容易に読み進めるように解説。
1995年の改訂では、「極小曲面」の章を新設し、第2章にでてくる例を詳しく調べることに重点をおき、図の改良にも工夫をした。

●目次
1．平面上の曲線，空間内の曲線
2．空間内の曲面の小域的理論
3．曲面上の幾何
4．Gauss‐Bonnetの定理
5．極小曲面

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